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Infinitos primos Noviembre 22, 2007

Posted by Álvaro in números, teoremas.
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Por supuesto el primer teorema de este sitio es el de la infinitud de los primos :) o sea:

El conjunto de los números primos (que solamente se dividen entre 1 y si mismos) es infinito

La demostración clásica es la de reducción al absurdo, es decir: suponer que el resultado no es cierto para llegar a una contradicción.

Supongamos entonces que hay solo m primos, podríamos entonces enlistarlos todos: p_1, p_2,... p_m y hacer el siguiente número: p_1 p_2... p_m+1, o sea 1 mas la multiplicación de todos ellos.
Como este numero es compuesto (no es un primo por que es mayor a todos ellos), es divisible entre algún primo, digamos p_k pero tambien lo es el producto de todos los primos (el anterior a el), entonces tenemos que p_k divide a 1, que es la diferencia entre estos 2 (he aqui la contradicción)

Comentarios»

1. Álvaro - Noviembre 22, 2007

Un resultado similar y muy conocido es el de que hay infinitos primos de la forma 4k+3
Por principio hay que notar que todos los primos, excepto el 2 tienen un resido 1 o 3. y al multiplicar 2 números con residuo 1 resulta siempre otro con residuo 1.
Si un número deja residuo 3 al dividirlo entre 4 entonces tiene un factor de la forma 4k+3, ya que al multiplicar números que no tienen este residuo, resulta un producto con residuo distinto a 3.
Si solo fueran un conjunto finito de primos de esa forma, podríamos tomar el siguiente número: 4 p_1p_2...p_k+3, como no es par, sus factores primos tienen residuo 1 o 3 al dividirlos en 4. Pero si solo tuviera factores con residuo 1, entonces el resultado quedaría con residuo 1.
Entonces tiene al menos un factor con residuo 3, digamos p_i. De forma similar al argumento de la infinitud de los primos, p_i divide a 4 p_1p_2...p_k+3, entonces tambien divide a 3 (contradicción)

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2. Álvaro - Noviembre 24, 2007

Hay otra demostración de la infinitud del conjunto de los primos atribuida a Perre de Fermat:
Fermat definió los números F_i = 2^{2^i}+1 pensando en que todos eran primos, ahora se les conoce como números de Fermat. Se puede demostrar que son primos relativos entre ellos, pero primero hay que demostrar el siguiente:
Lema
F_n - 2= F_1F_2F_3...F_{n-1}
el cual no es muy difícil de probar por inducción. (lo sugiero como ejercicio)
entonces calculemos el MCD de el n y m con n > m:
\displaystyle \left(F_n, F_m \right) = \left(F_1F_2...F_m...F_{n-1}+2, F_m \right) = \left(2, F_m \right) = 1
Como todos son primos relativos entre sí y son una cantidad infinita de ellos, pues debe haber una cantidad infinita de primos (al menos uno distinto por cada número de Fermat)
:)

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3. Álvaro - Noviembre 24, 2007

Otra demostración!!!
esta es un poquito mas difícil.
Cualquier entero se puede escribir como producto de sus divisores primos a alguna potencia. Usaremos este hecho.
Si hubiera una cantidad finita de primos, al escribir la siguiente suma:
\displaystyle \sum_{i= 1}^{\infty} \frac{1}{i}
cada termino podría factorizarse con una colección finita de inversos de primos, es decir \frac{1}{p_i}
podríamos entonces tomar el primer primo y factorizar a todos los que tienen a su inverso como factor y separar a los demás:
\displaystyle \sum_{i= 1}^{\infty} \frac{1}{i} = \left(\sum_{(p,i)=1} \frac{1}{i}\right)(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+...)
pero hay que recordar que la suma de las potencias de un número menor que 1 es:
\displaystyle 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+... = \frac{p}{p-1}
y de nuevo hacerlo con los demás primos… y como cada entero se descompone en solo una cantidad finita de primos tendríamos:
\displaystyle \sum_{i= 1}^{\infty} \frac{1}{i} = \left( \frac{p_1}{p_1-1}\right)\left( \frac{p_2}{p_2-1}\right)...\left( \frac{p_n}{p_n-1}\right)
lo cual es una cantidad finita (producto de un número finito de números).

Pero podemos demostrar también fácilmente que la suma original es infinita: en la suma
\displaystyle \sum_{i= 1}^{\infty} \frac{1}{i}
los términos 3 y 4 son ambos mayores iguales que \frac{1}{4}, y en total su suma es mayor que 1/4+1/4=1/2. Los terminos del 5 al 8 son todos mayores o iguales a \frac{1}{8} y como son 4, su suma es mayor que 4/8 = 1/2
así, del termino \frac{1}{2^n+1} hasta el \frac{1}{2^{n+1}}
son mayores o iguales que el último, y en total su suma es mayor que 1/2.
Como hay infinitas potencias de 2, y por cada una de ellas la suma hasta esa potencia aumenta 1/2 a la suma total… entonces la suma total no es finita.
pero si hay una cantidad finita de primos esa suma tiene que ser finita!,
Conclusión: hay una cantidad infinita de primos

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4. J. H. S. - Marzo 22, 2009

Hola Álvaro,

El resultado mencionado en tu primer comentario se puede obtener también como caso particular del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas.

– Si (a,b)=1 entonces la sucesión \{a+bk\}_{k \in \mathbb{N}} contiene infinitos números primos.

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5. J. H. S. - Marzo 22, 2009

Con respecto al comentario 3:

De hecho, se sabe que la serie de los recíprocos de los primos es divergente.

Una prueba elemental del resultado se puede encontrar en

http://www.math-inst.hu/~p_erdos/1938-13.pdf

Saludos a todos.

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6. Álvaro - Marzo 23, 2009

en efecto, gracias por ambos comentarios :)

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