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suma de potencias de 2 Diciembre 4, 2007

Posted by Álvaro in introductorios, números.
Tags: aritmetica, calculos
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Hay que calcular $S^{\frac{3}{256}}$ Donde $S = (2+1) (2^2+1) (2^4+1) ... (2^{256}+1)(2^{512}+1) +1$

1. Álvaro - Agosto 20, 2008: este es un problema clásico de encontrar el patrón, o sea con los primeros números: $3 \cdot 5 = 15 = 16-1 = 2^4-1$
$3\cdot 5\cdot 17 = 255 = 256 -1 =2^8-1$
$3\cdot 5\cdot 17\cdot 255 = 2^16-1$

entonces es razonable pensar que se podría demostrar por inducción que en general…
$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)... (2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^n}+1) = 2^{2^{n+1}}-1$

Primero es fácil verificar la base para $n = 1$ , y ahora si es cierto para $n$ , multiplicando ambos lados de la igualdad anterior por $2^{2^{n+1}}+1$ queda:
$(2+1)(2^2+1)(2^4)... (2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^n}+1)(2^{2^{n+1}}+1)$ $= (2^{2^{n+1}}-1)(2^{2^{n+1}}+1) = 2^{2(2^{n+1})}-1 = 2^{2^{n+2}}+1$
lo cual confirma el paso inductivo

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2. spext - Mayo 15, 2009: esto vale hongo

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