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Tres perpendiculares (problema de la semana 18-22 de febrero, de Matemáticas en Tamaulipas)

Sean  A, B, C tres puntos en una recta l, con B entre A y C. Por l_1, l_2, l_3  se levantan perpendiculares, respectivamente, a l. Demostrar, utilizando geometría analítica, que si P es un punto cualquiera en l_2, Q es la intersección de AP con l_3, y  R el punto de intersección de BP con l_1, entonces BP  es bisectriz del ángulo RBQ.

Solución

Elección de los ejes

Vamos a elegir el eje Y en la recta l_2 y el eje X en la recta l. Escalamos las coordenadas de tal manera que P=(0,1). Entonces, si A=(-a,0), B=(0,0), C=(c,0), los demás puntos y rectas se calculan fácilmente.

Plan

Vamos a demostrar que RB y BQ tienen pendientes simétricas.

Cálculos

Ecuación de AP: 1/a=y/x+a
Coordenadas de Q: cuando x=c, y=(c+a)/a; por tanto Q=(c,(c+a)/a)
Ecuación de BP:-1/c=y/(x-c)
Coordenadas de R: cuando x=-a, y=(a+c)/c; por tanto, R=(-a,(c+a)/c)
Pendiente de RB: -(c+a)/ca
Pendiente de BQ: (c+a)/ca

La demostración es finita.

Comentario metódico:

Hay dos elecciones que vale la pena comentar: la escalación de coordenadas, y la elección del eje Y como la presunta bisectriz. La escalación de los ejes facilita los cálculos posteriores en los cuales aparece P=(0,1). La elección del eje Y en la presunta bisectriz nos ahorra la pesada tarea de calcular la ecuación de la bisectriz del ángulo RBQ (para lo cual existen las herramientas analíticas pero…).

Problema de la semana (250208)

Sea ABC un triángulo y AA’ la altura de A respecto a la base BC (A’ es la base de la altura). Sobre el segmento AA’ se elige un punto P. Sean Q y R las intersecciones de BP con AB y de AP con AC, respectivamente. Demostrar que AA’ es bisectriz del ángulo QA’R.