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La recta de Simson Junio 7, 2008

Posted by Álvaro in geometría, introductorios, teoremas.
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recta de simson
Sea A, B, C un triángulo y D un punto en su circumcírculo (o sea que está en el círculo que pasa por A, B y C.
Sean E,F,G los pies de las alturas de D a los lados AB, BC, CA del triángulo.

Hay que demostrar que éstos últimos son colineales.

aqui está el archivo de geogebra

Un poco de desigualdades Junio 6, 2008

Posted by lxtreme in algebra, dificiles, teoremas.
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Un día estaba ordenando mi cuarto y me encontre una hoja con algunos problemas de desigualdades, y uno en especial me gustó mucho; dice asi:

Si 0\leq x_i \leq 1 y x_1+x_2+...+x_n=1 minimizar x_1^2+x_2^2+...+x_n^2 , pero podemos probar algo más fuerte. Si 0\leq x_i \leq k y x_1+x_2+...+x_n=k con k mayor o igual a cero , minimizar x_1^2+x_2^2+...+x_n^2

Para n=1, es obvio que el mínimo es k^2. Para n=2, tenemos x_1+x_2=k que implica x_1=k-x_2, entonces \displaystyle \begin{aligned} x_1^2+x_2^2 &= (k-x_2)^2+x_2^2 = \\ k^2-2kx_2+x_2^2+x_2^2 &= k^2-2kx_2+2x_2^2 \end{aligned}
y con un poco de algebra podemos ver que esta expresión es mínima cuando x_2=k/2 que implica x_1=k/2

Hemos visto en los casos n=1 y n=2, que la desigualdad se cumple cuando todas las x_i son iguales, que implica que el mínimo de la suma de los cuadrados de las x_i es k^2/n

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