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Un poco de desigualdades Junio 6, 2008

Posted by lxtreme in algebra, dificiles, teoremas.
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Un día estaba ordenando mi cuarto y me encontre una hoja con algunos problemas de desigualdades, y uno en especial me gustó mucho; dice asi:

Si 0\leq x_i \leq 1 y x_1+x_2+...+x_n=1 minimizar x_1^2+x_2^2+...+x_n^2 , pero podemos probar algo más fuerte. Si 0\leq x_i \leq k y x_1+x_2+...+x_n=k con k mayor o igual a cero , minimizar x_1^2+x_2^2+...+x_n^2

Para n=1, es obvio que el mínimo es k^2. Para n=2, tenemos x_1+x_2=k que implica x_1=k-x_2, entonces \displaystyle \begin{aligned} x_1^2+x_2^2 &= (k-x_2)^2+x_2^2 = \\ k^2-2kx_2+x_2^2+x_2^2 &= k^2-2kx_2+2x_2^2 \end{aligned}
y con un poco de algebra podemos ver que esta expresión es mínima cuando x_2=k/2 que implica x_1=k/2

Hemos visto en los casos n=1 y n=2, que la desigualdad se cumple cuando todas las x_i son iguales, que implica que el mínimo de la suma de los cuadrados de las x_i es k^2/n

Demostremos esto por inducción.

Nuestra hipótesis es la siguiente:

“Si \displaystyle 0\leq x_i \leq k y x_1+x_2+...+x_n=k con k mayor o igual a cero, x_1^2+x_2^2+...+x_n^2 es mínimo cuando x_1=x_2=...x_n, y el mínimo es k^2/n“

Nuestra base (n=2, y en el caso de n=1 es obvio) ya la hemos demostrado con anterioridad.

Vemos que pasa en el caso n+1

Tenemos que 0\leq x_i \leq k y x_1+x_2+...+x_n+x_{n+1}=k
que implica x_1+x_2+...+x_n=k-x_{n+1}
ahora, por la hipotesis \displaystyle x_1^2+x_2^2+...+x_n^2 \geq \frac{(k-x_{n+1})^2}{n}
entonces
\displaystyle \begin{aligned} x_1^2+x_2^2+...+x_n^2+x_{n+1}^2 &\geq \frac{(k-x_{n+1})^2}{n}+x_{n+1}^2= \\ \frac{k^2-2kx_{n+1}+x_{n+1}^2+nx_{n+1}^2}{n} &= \frac{k^2-2kx_{n+1}+(n+1)x_{n+1}^2}{n} \end{aligned}

ahora, esta razón será mínima cuando el numerador sea mínimo, osea, cuando k^2-2kx_{n+1}+(n+1)x_{n+1}^2 sea mínimo, y esto ocurre cuando x_{n+1}= \frac{k}{n+1} entonces,

\displaystyle \begin{aligned} x_1^2+x_2^2+...+x_n^2+x_{n+1}^2 &\geq \frac{(k-\frac{k}{n+1})^2}{n}+(\frac{k}{n+1})^2 = \\ n(\frac{k}{n+1})^2+ (\frac{k}{n+1})^2 &= \frac{k^2}{n+1}\end{aligned}

lo cual completa el paso inductivo (supusimos que los primeros n términos eran iguales y el último es igual a la n-esima parte de su suma, entonces es igual a ellos)

Comentarios»

1. Álvaro - Junio 6, 2008

!Felicidades Luis!

se puede demostrar que k^2-2kx_{n+1} +(n+1)x_{n+1}^2 alcanza su mínimo en \frac{k}{n+1} de la siguiente forma…

Consideramos que queremos minimizar el polinomio ax^2+bx+c con a positivo (en el caso que necesitamos, cambiamos convenientemente los valores de a, b y c según aparecen en la expresión a minimizar).

Primero notamos que minimizar dicha cantidad es lo mismo que minimizarla dividida entre una constante, digamos “a”
x^2 + \frac{b}{a}x+\frac{c}{a}

Ahora buscamos una expresión mas conveniente de dicho polinomio (o sea completamos el cuadrado para “x” )
x^2 +2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a} -(\frac{b}{2a})^2 = (x-\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}-(\frac{b}{2a})^2
pero en esta última expresión, \frac{c}{a}-(\frac{b}{2a})^2 es una constante. Entonces basta con minimizar el cuadrado… y eso se logra solo cuando es cero, o sea, x=\frac{b}{2a}

Como mencioné arriba, sustiyendo convenientemente en k^2-2kx_{n+1} +(n+1)x_{n+1}^2 obtenemos el resultado de que se minimiza en x= \frac{k}{n+1}

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2. Pterosaurio - Febrero 2, 2009

Ahora por Cauchy-Schwarz lo que decís es inmediato: aplicado a los vectores $(x_1,\ldots,x_n)$ y $(1,\ldots,1)$ obtenemos
$\sqrt{(x_1^2+\cdots+x_n^2)(1+\cdots+1)} \geqq |x_1+\cdots+x_n| = |k|.$ Luego $x_1^2+\cdots+x_n^2 \geqq \frac{k^2}n$.
La igualdad se da si y sólo si $(x_1,\ldots,x_n)$ y $(1,\ldots,1)$ son paralelos, es decir, si y sólo si $x_1=\cdots=x_n=\frac{k}n$.
Notemos que esto vale para cualesquiera números reales $x_1,\ldots,x_n$ con suma $k\geqq0$.

Esta es más difícil, pero también sale con Cauchy-Schwarz: si $a,b,c,d$ son reales positivos con $abcd=1$ entonces
$\frac1{(a+1)^2} + \frac1{(b+1)^2} + \frac1{(c+1)^2} + \frac1{(d+1)^2} \geqq 1.$

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3. Pterosaurio - Febrero 2, 2009

Ahora por Cauchy-Schwarz lo que decís es inmediato: aplicado a los vectores (x_1,\ldots,x_n) y (1,\ldots,1) obtenemos
\sqrt{(x_1^2+\cdots+x_n^2)(1+\cdots+1)} \geqq |x_1+\cdots+x_n| = |k|. Luego x_1^2+\cdots+x_n^2 \geqq \frac{k^2}n.
La igualdad se da si y sólo si (x_1,\ldots,x_n) y (1,\ldots,1) son paralelos, es decir, si y sólo si x_1=\cdots=x_n=\frac{k}n.
Notemos que esto vale para cualesquiera números reales x_1,\ldots,x_n con suma k\geqq0.

Esta es más difícil, pero también sale con Cauchy-Schwarz: si a,b,c,d son reales positivos con abcd=1 entonces
\frac1{(a+1)^2} + \frac1{(b+1)^2} + \frac1{(c+1)^2} + \frac1{(d+1)^2} \geqq 1.

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4. kare - Mayo 26, 2009

hola alguien aca podria ayudarme a resolver una desigualdad?

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