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Una revista de temas avanzados Julio 29, 2008

Posted by Álvaro in anuncios, dificiles, teoremas, varios.
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Navegando por internet encontré una muy buena revista en linea sobre matemáticas de olimpiada, lamentablemente no está en español pero el inglés es ya una lengua usada en todas partes, entonces no es mucho problema. Se llama Mathematical reflections, trata temas avanzados pero muy útiles para resolver problemas de las olimpiadas internacionales.

suerte.

Contar con los números de Fibonacci Julio 26, 2008

Posted by Álvaro in combinatoria, introductorios, trucos, varios.
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Otra técnica para contar es establecer alguna recurrencia, un ejemplo muy fácil:

¿Cuántos subconjuntos hay del conjunto {1, 2, 3… n}?
si definimos f(i) como la cantidad de subconjuntos que incluyen números menores o iguales a i podemos decir que f(i+1) = 2f(i) pues por cada conjunto que no contiene a i, se puede formar otro subconjunto igual pero que si lo contiene. Como f(0) = 1 se puede ver que f(n) = 2^n

Además una de las relaciones de recurrencia mas estudiadas es la de los números de Fibonacci, que cumplen con que
f_(i+1) = f(i) + f(i-1) y f(0) = 0, f(1) = 1

Es muy común encontrar esta relación de recurrencia en problemas, por ejemplo:

Un niño baja una escalera de n peldaños dando a veces saltos de 2 peldaños. ¿de cuántas formas distintas puede bajar la escalera?
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Otro acertijo con cerillos Julio 24, 2008

Posted by Álvaro in acertijos, anuncios.
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Esta vez se trata de cambiar de lugar 3 cerillos para construir 3 cuadrados, sin romper ni encimar cerillos:

cambia 3 cerillos para obtener 3 cuadrados

cambia 3 cerillos para obtener 3 cuadrados

Lo encontré en la página de Math is fun, donde dicen que su autor es Peter Grabarchuk

Construir un triángulo Julio 22, 2008

Posted by Álvaro in geometría, intermedios, introductorios, varios.
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Los que han tomado clases conmigo muy probablemente recuerden los juegos de encontrar el triángulo a partir de datos sobre él. Por ejemplo (uno muy fácil) dados los puntos medios de los lados, encontrar los vértices.

Hay muchos de esos acertijos con los que se pueden divertir:
1
Conociendo el Ortocentro y dos vértices.

2
Con los puntos que equidistan simultaneamente a los 3 lados

3
Con el Gravicentro, un vértice y el Circumcentro

4
El Ortocentro, un punto medio de un lado y el vértice opuesto a ese lado

5
El circumcírculo y los 3 puntos donde lo cortan las vicectrices

Casualmente me encontré un sitio donde registran varias de estas construcciones y hay algunas bastante interesantes.

Una desigualdad geométrica Julio 22, 2008

Posted by Álvaro in algebra, geometría, introductorios, teoremas, trucos.
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Hay una desigualdad muy bonita con 2 números positivos (se llama desigualdad de media geométrica-media aritmética) y fácil de demostrar:

\displaystyle \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}

Le sugiero al lector escribir como comentario una demostración usando solo álgebra, pero aquí veremos un par de demostraciones muy intuitivas usando solo hechos geométricos
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Medalla de plata y de bronce Julio 20, 2008

Posted by Álvaro in anuncios, dificiles, varios.
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Muchas felicidades a los concursantes mexicanos!, en especial a Aldo Pachiano y Manuel Guillermo Lopez, que obtuvieron medallas de Plata y Bronce en la IMO en Madrid, España.

Justo apenas acaba de concluir y en este momento deben estar de fiesta.
Yo acabo de regresar de vacaciones y es la primera noticia que recibí :D

Ahora pueden ver los exámenes completos en la página oficial

Olimpiada Internacional de Matemáticas en Madrid, España Julio 16, 2008

Posted by Álvaro in anuncios, dificiles, varios.
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Hoy comienza la 49 edición de la Olimpiada Matemática internacional, celebrada este año en Madrid, España, si quieren ver los exámenes tal vez ya estén en mathlinks.ro o directamente en el sitio oficial.

Les deseamos buena suerte a todos los concursantes, en especial a los mexicanos!

Contar subconjuntos Julio 15, 2008

Posted by Álvaro in combinatoria, teoremas, trucos, varios.
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Una de las técnicas básicas para resolver problemas es contar de varias formas, ésta vez veremos las formas de contar subconjuntos de un conjunto que para propósitos prácticos es [n] = {1, 2,….,n}.

De hecho la notación {n \choose k} se inventó para expresar la cantidad de subconjuntos con k elementos en [n]. Pero primero hay que pensar en cosas mas fáciles…
¿cuántas opciones tenemos para escoger un elemento en [n]?
¿de qué formas distintas podemos escoger los n elementos?
¿de cuántas formas podemos hacer una lista de k elementos de [n]?
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Discos dentro de un cuadrado Julio 14, 2008

Posted by Álvaro in combinatoria, geometría.
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Dentro de un cuadrado de área 1 hay una cantidad infinita de discos totalmente contenidos ahí, que se pueden intersectar y que en total su perímetro suma 10.

Demostrar que hay una línea vertical, que corta al menos a 4 discos simultaneamente.

Una progresión geométrica Julio 12, 2008

Posted by Álvaro in algebra, intermedios, números.
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Demostrar que no existe una progresión geométrica (o sea qa, qa^2, qa^3...) que cumpla que el producto de sus primeros n términos sea divisible entre su suma