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División de polinomios Julio 7, 2008

Posted by Álvaro in algebra, introductorios, teoremas, trucos.
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Para los que sepan suficiente álgebra puede ser interesante el problema que está al final del post.

Los polinomios se dividen muy fácil, casi como los números enteros. Solamente que en polinomios los cocientes y residuos también son polinomios: por ejemplo \frac{x^n+1}{x} = x^{n-1}+\frac{1}{x} se divide exactamente como si dividieramos \frac{10^n+1}{10} = 10^{n-1}+\frac{1}{10}, solo que en vez de tomar la base 10, usamos la base x. Otro ejemplo complicado…
\frac{x^4-2x^2+1}{x} = x^3-2x+\frac{1}{x}

Si en vez de dividir entre x dividimos entre otro polinomio P(x) podemos separar en sumandos fáciles de dividir entre P(x), por ejemplo, en el siguiente caso P(x) = x+1:
\frac{x^4-x^2+x+1}{x+1} = \frac{x^4-2x^2+1}{x+1}+ \frac{x^2+x}{x+1}
= \frac{(x-1)^2(x+1)^2}{x+1}+x = (x-1)^2(x+1)+x

y en el caso de que no se pueda expresar el polinomio a dividir Q(x) en forma de multiplos de P(x) siempre podemos encontrar un múltiplo de P(x) cercano a Q(x) de la siguiente forma:

Q(x) = A(x)P(x)+B(x)
en este caso B(x) es el residuo.

Ejemplo: \frac{x^3}{x-1} = \frac{x^3-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}
= x^2+x+1 + \frac{1}{x-1}

Una propiedad importante y fácil del residuo es que su grado es estrictamente menor que P(x), el lector puede verificarlo fácilmente (y escribirlo)

Bueno… despues de tanta teoría (jijijiji) el problema es muy bonito:
¿Cuál es el residuo al dividir x^n entre x^2-x-1?

Comentarios»

1. chaneke - Septiembre 2, 2008

no mames no le entiendo atus problemas ponmelos mas fasiles

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2. Álvaro - Septiembre 2, 2008

Perdón, este sitio no es para cosas mas fáciles que esto :P

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3. baquie - Septiembre 2, 2008

gracias mw ayudo a comprender lo todo y para los demas ponganse a estudiar el internet es una herramienta para investigacion no es algo que por arte de magia te trnsporta las respuestas del examen k ya es hora de que se porgan a estudiar araganes

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katalina - Junio 11, 2009

perfecto por fin alguien cooerente muy sigue asi nenita

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4. Álvaro - Octubre 28, 2008

el hint (para el último problema) es usar inducción

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5. yo - Febrero 3, 2009

esto da una hueva absoluta

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6. cena - Marzo 1, 2009

gracias por los ejercicios, me ayudaron de mucho a pesar de que no entendia muy bien este tipo de división, al final lo pude hacer.

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7. diana - Abril 26, 2009

gracias lo conprendi todo que buena pagina

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katalina - Junio 11, 2009

jajajjaj bn pagina no lo creo

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8. katalina - Junio 11, 2009

esto no trae nd bn ok no deveriamos perder tiempo es esta cosa mas bn pongamonos a estudiar q esto no resuelve nd ok

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