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Una lista de problemas fáciles Julio 9, 2008

Posted by Álvaro in intermedios, introductorios, varios.
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1
Sean a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 las longitudes de los lados de un pentágono convexo, y d_1, d_2, d_3, d_4, d_5 las longitudes de sus diagonales. Demostrar que
\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{a_1+ a_2+ a_3+ a_4+ a_5}{d_1+ d_2+ d_3+ d_4+ d_5} \leq 1

2
En una línea escribimos los números del 19 al 80 sin espacios entre ellos:
192021…787980
¿este número es divisible entre 1980?

3
Probar que para cualquier polígono convexo de área 1 hay un paralelogramo de área 2 que lo contiene

4
Demostrar que
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+... +\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000}= \frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1003}+...\frac{1}{2000}

5
Sea ABCD un cuadrilátero cíclico cuyo circumcentro es O, con AD opuesto a BC y <BOC = <DOA. P es la intersección de las rectas AD y BC.
¿Cuál es el valor de PA-PB?

6
Encuentra un número de 6 dígitos tales que al multiplicarlo por 2, 3, 4, 5 y 6 los resultados solo sean los mismos dígitos en otro orden.

7
Una recta corta a un cuadrilátero ABCD en 2 que son cíclicos. Demostrar que ABCD tiene 2 lados paralelos

8
Si el número 2^{2008} tiene n cifras y 5^{2008} tiene m cifras ¿cuánto es n+m?

9
Demuestra que un rectángulo de lados nxm con n y m mayores a 3 ambos, se puede cubrir perfectamente con triminós L (o sea asi: ) si y solo si 3 divide a nm

10
Sea ABCD un cuadrilátero con un circulo inscrito y WXYZ los puntos de tangencia a dicho circulo, demostrar que las diagonales AC, BD y las cuerdas WY y XZ concurren.

Comentarios»

1. Álvaro - Julio 11, 2008

bueno, si ya los intentaron ya saben que el 10 está un poco difícil, y los demás son muy fáciles, pero si no les salen aún no se preocupen, hay mucho tiempo

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2. Jonas Castillo - Diciembre 18, 2008

142857

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3. J. H. S. - Marzo 22, 2009

El 4 es bastante conocido. Lo ví en el folleto de la OMM del 2007 [Avanzados, 44]. Salió también en Crux with Mayhem hace no mucho.

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4. agostina - Abril 20, 2009

jajaja q dificil !!!

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5. JASJJAHSJHAS - Junio 16, 2009

RE FACIL PO BUSKO ALGO POR EJEMPLO

ALBERTITO ENTRA A UN APAG.. DE INTERNET A LA CUAL CUANDO ENTATRS CUENTAS CN UN VIRUS EN EL PC SI EL VIRUS SE TRIPLIKA CADA 10 MIN.. CUANTSO VIRUS TENDRA ALVERTITO EN UNA HORA COMO POTENCIAAAA

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