Una desigualdad geométrica Julio 22, 2008
Posted by Álvaro in algebra, geometría, introductorios, teoremas, trucos.Tags: desigualdades, fáciles, media aritmética, media cuadratica, media geometrica, sin palabras
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Hay una desigualdad muy bonita con 2 números positivos (se llama desigualdad de media geométrica-media aritmética) y fácil de demostrar:
Le sugiero al lector escribir como comentario una demostración usando solo álgebra, pero aquí veremos un par de demostraciones muy intuitivas usando solo hechos geométricos
Construimos primero un semicírculo de diámetro 
Es fácil ver en la figura anterior que los triángulos ABC, AHC y CHB son rectángulos y semejantes, pues comparten ángulos.
Entonces tenemos las siguientes igualdades entre las razones de sus lados:
y como vemos, el punto mas alto del circulo es justo enmedio, que es el radio, o sea 
Ahora podemos ver una mas sencilla aún… jejeje :D
Como estamos hablando de números positivos, podemos pensarlos como áreas:
Claramente el rectángulo área 
que es equivalente a lo que queríamos demostrar.
Otra demostración sin palabras es la que sigue:
Usando el último dibujo y un pequeño lema se puede demostrar muy fácilmente la desigualdad del reacomodo, que dice: si
y 
son números positivos, el producto 
es máximo si 
El lema necesario es uno extremadamente fácil y bonito: cualquier suma de
elementos del conjunto 
es mayor o igual a 
usando vectores esto queda muy sencillo
considerando los vectores u ̅=(√(a_1 ),√(a_2 )) v ̅=(√(a_2 ),√(a_1 ))
y usando la desigualdad de cauchy-schwarz sale directo
Efectivamente! es equivalente por que asi se demuestra la desigualdad de Schwartz en el caso finito (es una de las maneras:)
la verdad es que algebraicamente se puede resolver