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Problemas de práctica Agosto 24, 2008

Posted by Álvaro in varios.
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1
Demuestre que si dos fracciones irreducibles sumadas dan un entero, ambas tienen el mismo denominador

2
¿Cuantos polinomios p(x) hay de segundo grado con coeficientes enteros y raices enteras tales que p( 8 ) = 1?

3
Sea ABC un triángulo con BC = AC con el ángulo en C menor a 60º. Sean tambien A’ y B’ sobre BC y AC respectivamente tales que AA’ = BB’ = AB.Sea C’ la intersección de AA’ y BB’.
Sabiendo que AC’ = AB’ y BC’ = BA’ ¿cuánto vale exactamente el ángulo en C?

4
Sea ABC un triángulo rectangulo con AC la hipotenusa y H el pie de la altura desde B a AC. Se sabe que con los segmentos BH, AB y BC se puede formar otro triángulo rectángulo.
Encontrar los valores posibles de AH/HC

5
Sea h un entero positivo, se define la secuencia a_n como sigue:
a_0 = 1
a_{n+1} se divide entre 2 o se le suma h si a_n es par o no
¿Para qué valores de h existe n > 0 tal que a_n = 1?

6
En el plano se trazan circunferencias de radio 1/20 con centros en cada punto con coordenadas enteras.
Demostrar que cualquier circunferencia de radio 100 intersecta al menos a alguna de las circunferencias pequeñas


Comentarios»

1. emi - Julio 27, 2009

solucion al problema 1:

Sean a/b y c/d las fracciones, tal que:
a/b + c/d = n
con n logicamente entero por el enunciado, luego acomodando reconvenientemente:
a/b + c/d = n
c/d= n -( a/b)
b(c/d)=bn – a

como bn-a es entero entonces b(c/d) tambien; ademas c/d es irreducible por que (c;d)=1 entonces b es multiplo de d. Pero analogamente despejamos a/b y obteneos:
d(a/b)= dn – c

osea que por las mismas razones b es multiplo de d, y la unica forma que los dos sean multiplos entre si es que sean iguales.

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2. CEZ - Diciembre 31, 2009

solucion problema 2

P(X)=a(x-p)(x-q) donde p y q son las raices que por suposicion son enteras y dado que los coeficientes son enteros se debe tener que a es un entero, entonces como P(8)=a(8-p)(8-q)=1 y se sabe que a, p y q son enteros entonces tambien 8-p y 8-q son enteros y por lo tanto a,8-p y 8-q solo pueden ser 1 o -1 ya que queremos que el producto de tres enteros sea igual a 1, mas aun debemos tener una cantidad par de -1’s entonces los tres deben ser iguales a 1 o uno de ellos es igual a 1.
cuando los tres son iguales a uno solo puede pasar que p=q=7 y a=1lo que nos diria que el polinomioP(x)=x^2 -14x +49 es un polinomio que cumple.
cuando solo hay un 1 entre los numeros a, 8-p y 8-q hay dos posibilidades uno de 8-p y 8-q es 1 o a=1 cuando a=1 8-p=8-q=-1 entonces p=q=9 lo cual nos dice que el polinomio
P(x)=-1(x-9)(x-9)= -x^2 +18 -81 cumple lo pedido.
finalmente el caso en que alguno de 8-p y 8-q es igual a 1 digamos sin perdidade generalidad 8-p=1 y entonces 8-q=-1 y a=-1 es decir p=7, q=9 y a=-1 nos dice que el polinomio
P(x)=-1(x-7)(x-9)=-x^2 +16x -63 cumple lo pedido.
y por lo visto estos son todos los casos entonces solo esos 3 polinomios cumplen

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