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Sumas de subconjuntos no divisibles entre n Septiembre 17, 2008

Posted by Álvaro in combinatoria, intermedios, números.
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Describir todos los conjuntos de naturales tales que ninguno de sus subconjuntos suma un múltiplo de n

La raíz conjugada Septiembre 15, 2008

Posted by Álvaro in algebra, introductorios, trucos.
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Demostrar que \frac{a+b}{2} -\sqrt{ab} \geq \frac{(a-b)^2}{4(a+b)}

Un truco muy conocido que siempre es útil en problemas de olimpiada que involucran polinomios de 2º grado es tomar las raíces conjugadas.

Todos sabemos que las raices del polinomio x^2+px+q son x_0 = \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2} y x_1 = \frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}
En lo único que se diferencian es en el signo en el radical. A eso se le llama raices conjugadas, aunque es mas general: Siempre que tenemos un número real de la forma a+\sqrt{b} (en general con a, b enteros) decimos que su conjugado es a-\sqrt{b}.

Una propiedad muy útil es que multiplicandolos o sumandolos obtenemos un entero (si a y b son enteros), por el teorema de Vieta (la suma y multiplicacion de las raices son los coeficientes p y q del polinomio)

Un ejemplo:

Encuentra todas las ternas de naturales (a, b,c) que cumplen (\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})=12

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