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La raíz conjugada Septiembre 15, 2008

Posted by Álvaro in algebra, introductorios, trucos.
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Demostrar que \frac{a+b}{2} -\sqrt{ab} \geq \frac{(a-b)^2}{4(a+b)}

Un truco muy conocido que siempre es útil en problemas de olimpiada que involucran polinomios de 2º grado es tomar las raíces conjugadas.

Todos sabemos que las raices del polinomio x^2+px+q son x_0 = \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2} y x_1 = \frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}
En lo único que se diferencian es en el signo en el radical. A eso se le llama raices conjugadas, aunque es mas general: Siempre que tenemos un número real de la forma a+\sqrt{b} (en general con a, b enteros) decimos que su conjugado es a-\sqrt{b}.

Una propiedad muy útil es que multiplicandolos o sumandolos obtenemos un entero (si a y b son enteros), por el teorema de Vieta (la suma y multiplicacion de las raices son los coeficientes p y q del polinomio)

Un ejemplo:

Encuentra todas las ternas de naturales (a, b,c) que cumplen (\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})=12


primero dividimos 12 entre (\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3}) y nos queda: (\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}) = \frac{12}{(\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})} para simplificarlo multiplicamos y dividimos por el conjugado: (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) que resulta en \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2+\sqrt{10}}
Ahora nuestro objetivo es liberarnos de el denominador, para eso volvemos a multiplicar y dividir por el conjugado, esta vez del denominador: 2-\sqrt{10} y nos queda de esta forma: \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2} + \sqrt{3})(2 - \sqrt{10})}{ - 1} y simplificando resulta en: \sqrt{18} + \sqrt{30} - \sqrt{12}, por lo tanto los números que buscamos son: (18, 30, 12)

Otra observación muy útil es que si tenemos un número complejo a + \sqrt{-b} con a real y b positivo, entonces al multiplicarlo o sumarlo con su conjugado resulta un número real. ejemplo:

simplifica: \frac{3-2i}{12+5i}

\frac{3 - 2i}{12 + 5i} = \frac{(3 - 2i)(12 - 5i)}{(12 + 5i)(12 - 5i)} =
\frac {36 - 15i - 24i + 10i^2}{144 - 25i^2} = \frac {26 - 39i}{169} = \frac {2 - 3i}{13}

Justamente de eso podemos deducir que en cualquier polinomio con coeficientes reales, si x+iy es una raíz compleja, tambien su conjugado x-iy lo es.
Supongamos que x+iy es raíz del polinomio P(z) y que D(z) = (z- x+iy)(z - x-iy), entonces podemos dividir P(z) / D(z) y queda como residuo otro polinomio R(z) con grado a lo más 1, con coeficientes reales y que tiene a x+iy como raíz. o sea que podemos decir que existe un polinómio Q(z) que cumple la ecuación: P(z) = D(z)Q(z) + R(z) y que R(x+iy) = a(x+iy) + b = 0, pero como a y b son reales entonces aiy = 0 y b=0, o sea que el residuo es identicamente 0, o en otras palabras D(z) divide a P(z). de ahí que x-iy tambien es raíz de P(z).

Comentarios»

1. maria - Septiembre 21, 2008

no entiendo nada tienen que explicarlo mejor…….

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2. hola - Septiembre 21, 2008

bobos

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3. anonimo - Septiembre 29, 2008

hint: multiplicar por \frac{a+ b}{2}+\sqrt{a b}

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4. cristian camilo - Marzo 3, 2009

gracias xDD

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5. dr daniel cataño garcia - Abril 12, 2009

la conjugada se puede con raices pares es decir aparte de la cuadrada osea ,con 4 6 8 como indices???

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6. lorena - Mayo 19, 2009

que marikda tan dificil

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7. Mc_flex - Junio 10, 2009

yo tampoco

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8. yo - Agosto 10, 2009

“Justamente de eso podemos deducir que en cualquier polinomio con coeficientes reales, si x+iy es una raíz compleja, tambien su conjugado x-iy lo es.”

que mentira, la justificación no se entiende nada

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Diego - Agosto 20, 2009

Aki hay q aclarar q la desigualdad a ser demostrada solo se verifica para numeros positivos!!!
tomen a=-2, b=-3, y vean q pasa……………

o tomen a=a, b=-5 se tiene una raiz negativa……..

gracias

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