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Fórmula para los números primos Julio 11, 2008

Posted by Álvaro in números, teoremas, trucos.
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Me encontré por casualidad en mathlinks.ro un problema increíble pero muy bonito: se los dejo de tarea por esta semana que me voy de vacaciones :)

Demostrar que
\displaystyle f(n) = (2n - 1)(1 + \lfloor\frac {(2n)! + 1}{2n + 1}\rfloor + \lfloor - \frac {(2n)! + 1}{2n + 1} \rfloor) + 2

siempre es un número primo y que aparecen todos los primos en esa secuencia, o sea para cualquier primo p existe un n que hace que f(n) = p

La notación \lfloor x \rfloor significa: el mayor entero menor a x.
Antes de seguir leyendo sugiero intentarlo mucho, no es difícil.
(más…)

Infinitos primos Noviembre 22, 2007

Posted by Álvaro in números, teoremas.
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Por supuesto el primer teorema de este sitio es el de la infinitud de los primos :) o sea:

El conjunto de los números primos (que solamente se dividen entre 1 y si mismos) es infinito

La demostración clásica es la de reducción al absurdo, es decir: suponer que el resultado no es cierto para llegar a una contradicción.

Supongamos entonces que hay solo m primos, podríamos entonces enlistarlos todos: p_1, p_2,... p_m y hacer el siguiente número: p_1 p_2... p_m+1, o sea 1 mas la multiplicación de todos ellos.
Como este numero es compuesto (no es un primo por que es mayor a todos ellos), es divisible entre algún primo, digamos p_k pero tambien lo es el producto de todos los primos (el anterior a el), entonces tenemos que p_k divide a 1, que es la diferencia entre estos 2 (he aqui la contradicción)