jump to navigation

La raíz conjugada Septiembre 15, 2008

Posted by Álvaro in algebra, introductorios, trucos.
Tags: , , , ,
9 comments

Demostrar que \frac{a+b}{2} -\sqrt{ab} \geq \frac{(a-b)^2}{4(a+b)}

Un truco muy conocido que siempre es útil en problemas de olimpiada que involucran polinomios de 2º grado es tomar las raíces conjugadas.

Todos sabemos que las raices del polinomio x^2+px+q son x_0 = \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2} y x_1 = \frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}
En lo único que se diferencian es en el signo en el radical. A eso se le llama raices conjugadas, aunque es mas general: Siempre que tenemos un número real de la forma a+\sqrt{b} (en general con a, b enteros) decimos que su conjugado es a-\sqrt{b}.

Una propiedad muy útil es que multiplicandolos o sumandolos obtenemos un entero (si a y b son enteros), por el teorema de Vieta (la suma y multiplicacion de las raices son los coeficientes p y q del polinomio)

Un ejemplo:

Encuentra todas las ternas de naturales (a, b,c) que cumplen (\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})=12

(más…)

División de polinomios Julio 7, 2008

Posted by Álvaro in algebra, introductorios, teoremas, trucos.
Tags: , ,
12 comments

Para los que sepan suficiente álgebra puede ser interesante el problema que está al final del post.

Los polinomios se dividen muy fácil, casi como los números enteros. Solamente que en polinomios los cocientes y residuos también son polinomios: por ejemplo \frac{x^n+1}{x} = x^{n-1}+\frac{1}{x} se divide exactamente como si dividieramos \frac{10^n+1}{10} = 10^{n-1}+\frac{1}{10}, solo que en vez de tomar la base 10, usamos la base x. Otro ejemplo complicado…
\frac{x^4-2x^2+1}{x} = x^3-2x+\frac{1}{x}

Si en vez de dividir entre x dividimos entre otro polinomio P(x) podemos separar en sumandos fáciles de dividir entre P(x), por ejemplo, en el siguiente caso P(x) = x+1:
\frac{x^4-x^2+x+1}{x+1} = \frac{x^4-2x^2+1}{x+1}+ \frac{x^2+x}{x+1}
= \frac{(x-1)^2(x+1)^2}{x+1}+x = (x-1)^2(x+1)+x

y en el caso de que no se pueda expresar el polinomio a dividir Q(x) en forma de multiplos de P(x) siempre podemos encontrar un múltiplo de P(x) cercano a Q(x) de la siguiente forma:

Q(x) = A(x)P(x)+B(x)
en este caso B(x) es el residuo.

Ejemplo: \frac{x^3}{x-1} = \frac{x^3-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}
= x^2+x+1 + \frac{1}{x-1}

Una propiedad importante y fácil del residuo es que su grado es estrictamente menor que P(x), el lector puede verificarlo fácilmente (y escribirlo)

Bueno… despues de tanta teoría (jijijiji) el problema es muy bonito:
¿Cuál es el residuo al dividir x^n entre x^2-x-1?

Un problema de polinomios Julio 7, 2008

Posted by ssbmplayer in algebra, números.
Tags: , ,
add a comment

Demuestra que el polinomio ax^2+bx+c con a, b y c  impares no tiene raices racionales.

Raices comunes Diciembre 3, 2007

Posted by Álvaro in algebra, introductorios.
Tags: ,
1 comment so far

Hay un polinomio P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+... a_1x+a_0 con todos sus coeficientes enteros, que cumple que P(x) y P(P(P(x))) tienen una raiz común. Demostrar que tambien tienen una raíz entera común.