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Suma de raices Octubre 21, 2008

Posted by Álvaro in algebra, dificiles.
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El problema ahora es el siguiente; de la siguiente suma
\displaystyle 1+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{10^4}}
encontrar los enteros consecutivos entre los que está

Olimpiadas de la ciencia, desde México Octubre 2, 2008

Posted by Álvaro in anuncios, varios.
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Esta semana por casualidád me encontré este grupo de discusión sobre las olimpiadas de la ciencia en México, la sección de matemáticas tiene muchos links muy recomendables

Olimpiada de matemáticas

Una suma complicada Octubre 1, 2008

Posted by Álvaro in algebra, combinatoria, dificiles.
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El problema consiste en calcular la siguiente suma:
\displaystyle \sum_{i = 0}^{n} {n \choose 3i+1}
cuando n es múltiplo de 3

Sumas de subconjuntos no divisibles entre n Septiembre 17, 2008

Posted by Álvaro in combinatoria, intermedios, números.
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Describir todos los conjuntos de naturales tales que ninguno de sus subconjuntos suma un múltiplo de n

La raíz conjugada Septiembre 15, 2008

Posted by Álvaro in algebra, introductorios, trucos.
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Demostrar que \frac{a+b}{2} -\sqrt{ab} \geq \frac{(a-b)^2}{4(a+b)}

Un truco muy conocido que siempre es útil en problemas de olimpiada que involucran polinomios de 2º grado es tomar las raíces conjugadas.

Todos sabemos que las raices del polinomio x^2+px+q son x_0 = \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2} y x_1 = \frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}
En lo único que se diferencian es en el signo en el radical. A eso se le llama raices conjugadas, aunque es mas general: Siempre que tenemos un número real de la forma a+\sqrt{b} (en general con a, b enteros) decimos que su conjugado es a-\sqrt{b}.

Una propiedad muy útil es que multiplicandolos o sumandolos obtenemos un entero (si a y b son enteros), por el teorema de Vieta (la suma y multiplicacion de las raices son los coeficientes p y q del polinomio)

Un ejemplo:

Encuentra todas las ternas de naturales (a, b,c) que cumplen (\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})=12

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Saludos a Campeche Agosto 28, 2008

Posted by Álvaro in anuncios, introductorios, varios.
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El mas reciente comentario que recibí fue de un olimpico de Campeche, Saludos a todos los de por allá (hermosa ciudad por cierto). Ahí fue la nacional que recuerdo con mas gusto y fueron los cursos que di ahí uno de los viajes que mas me han gustado.

xscorpio_(en)hotmail.com dejó un sitio muy bueno con bastante material introductorio y exámenes en este Link

ojalá y le puedan echar un vistazo :)

Crux Mathematicorum Agosto 28, 2008

Posted by Álvaro in anuncios.
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Hay una revista de problemas de la sociedad matemática Canadiense, es la Crux Mathematicorum, y se puede accesar el texto en linea de las primeras publicaciones, pero para las demás hay que comprar una subscripción.

De cualquier modo es mucho material y vale la pena echarle un ojo

Mas problemas de practica (mas dificiles) Agosto 26, 2008

Posted by Álvaro in dificiles, intermedios, varios.
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1
Determinar todas las parejas (a, b) de enteros positivos de dos digitos cada uno tales que 100a+b y 201a + b son cuadrados perfectos de 4 dígitos

2
Sea ABC un triángulo acutángulo, con N, P, Q los pies de las alturas sobre BC, CA y AB respectivamente. Sean R y S las proyecciones de N sobre los lados AB y AC resp. Sean T y U las proyecciones de N sobre BP y CQ resp.
a) Demostrar que R, S; T y U son colineales
b) Demostrar que PQ = RS – UT

3
Un polígono tiene 2008 vértices de forma que no hay 3 de ellos alineados ni 3 de sus segmentos concurren. Determinar el máximo número de cruces que pueden hacerse entre sus lados.
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Problemas de práctica Agosto 24, 2008

Posted by Álvaro in varios.
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1
Demuestre que si dos fracciones irreducibles sumadas dan un entero, ambas tienen el mismo denominador

2
¿Cuantos polinomios p(x) hay de segundo grado con coeficientes enteros y raices enteras tales que p( 8 ) = 1?

3
Sea ABC un triángulo con BC = AC con el ángulo en C menor a 60º. Sean tambien A’ y B’ sobre BC y AC respectivamente tales que AA’ = BB’ = AB.Sea C’ la intersección de AA’ y BB’.
Sabiendo que AC’ = AB’ y BC’ = BA’ ¿cuánto vale exactamente el ángulo en C?
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Pastel con borde Agosto 22, 2008

Posted by Álvaro in acertijos, combinatoria, geometría, intermedios.
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En una fiesta hay n niños y un pastel con el borde hecho de crema de sabor, por eso hay que darle a todos los niños un pedazo tenga el borde repartido equitativamente y además el relleno tambien repartido igual para todos.

Obviamente esto puede hacerce si el pastel es circular, pero si no lo es… ¿Puede caracterizarse cómo son las figuras en las que tal corte es posible?